目录

高数上

极限及函数基础

极限相关

1. $lim[f(x)+g(x)]=limf(x)+limg(x)$$\lim [f(x)+g(x)] = \lim f(x)+ \lim g(x)$需要两个极限都存在的时候才可以拆分；

2. 一类间断点：左右极限存在（可去，跳跃间断点）；

   二类间断点：左右极限不都存在（无穷，振荡）；

拐点，渐近线

拐点：二阶导为零或不存在且两侧二阶导异号的点。

渐近线

能画图就画图，不能画图再用公式，水平和铅直不谈，斜渐近线：

1. $lim\frac{y}{x}=a$$\lim \frac{y}{x} = a$

2. $lim(y-ax)$$\lim(y-ax)$

拉格朗日余项

带拉格朗日余项的一阶泰勒展开式为：

一阶的余项为2阶导，2的阶乘，2次方；n阶即余项为n+1阶导，n+1的阶乘，n+1次方；

微积分

积分公式记忆

即同一行有：

1. ${\displaystyle \int (\text{两}\text{项}\text{积})dx=\text{余}\text{项}+C}$$\displaystyle\int (两项积)dx = 余项 +C$；

2. ${\displaystyle \int \text{单}\text{项}dx=ln(\text{余}\text{项}\text{和})+C}$$\displaystyle\int 单项dx = ln(余项和) +C$；

而利用“正弦/切/割”三角代换可以将带根号的积分式转化为上一种情况；

应用

变上限积分

性质

1. $f(x)$$f(x)$可积，则变上限积分连续

2. $f(x)$$f(x)$连续，则变上限积分可导

3. 奇偶性与$f(x)$$f(x)$原函数同（假设有原函数）

计算

1. 简单模式：${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_a^{x}f(t)dt=f(x)}$$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^x f(t)dt = f(x)$

2. 复杂模式：${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_a^{\phi (x)}f(t)dt=f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)}$$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_a^{\varphi(x)} f(t)dt = f[\varphi(x)]\varphi'(x)$，${\displaystyle \frac{d}{dx}{\int }_{\psi (x)}^{\phi (x)}f(t)dt=f[\phi (x)]{\phi }^{\prime }(x)-f[\psi (x)]{\psi }^{\prime }(x)}$$\displaystyle\frac{d}{dx}\int_{\psi(x)}^{\varphi(x)} f(t)dt = f[\varphi(x)]\varphi'(x) - f[\psi(x)]\psi'(x)$；

   因为这是对导数的变限积分，不是对变限积分求导。变限积分下限在积分里是一个常数，求导之后是0不用考虑，你这里没有对变限积分求导，而是对一个导数进行了变限积分。

   知乎

3. 变态模式：

   • 可直接分离$x$$x$和$t$$t$，直接分离：

     $$\frac{d}{dx}{\int }_a^{\phi (x)}{e}^{x+t}dt=\frac{d}{dx}[e^x{\int }_a^{\phi (x)}{e}^{t}dt]=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$

   • 不可直接分离，换元：

     $$\frac{d}{dx}{\int }_a^{\phi (x)}{e}^{xt}dt=\frac{d}{dx}[{\int }_a^{x\phi (x)}{e}^{u}d(\frac{u}{x})]=u^{\prime }v+u{v}^{\prime }$$

积分中值定理

1. ${\displaystyle {\int }_a^{b}f(x)-g(x)=0\Rightarrow \mathrm{\exists }\xi \in (a,b),f(\xi )-g(\xi )=0}$$\displaystyle\int_a^b f(x)-g(x) = 0 \Rightarrow \exist\ \xi \in (a,b),\ f(\xi)-g(\xi) = 0$

反常积分审敛法

比较审敛法

区分无穷限和无界，然后使用夹逼原理，比收敛函数小的函数还是收敛，比发散函数大的函数还是发散。

极限审敛法

极限审敛法1：在$\mathrm{\infty }$$\infty$处乘$x$$x$，取极限若为0，说明原本是$p>1$$p>1$，收敛。（若$p\le 1$$p\leq 1$会是常数或$\mathrm{\infty }$$\infty$）。

极限审敛法2：在瑕点处乘$(x-a)$$(x-a)$，取极限若为0，说明原本是$p<1$$p<1$，收敛。（若$p\ge 1$$p\geq 1$会是大于0的常数，即分子，或是$\mathrm{\infty }$$\infty$）。

[注意] 这里乘x的一次项式是为了判别被积函数等价于多少阶（$n$$n$为多少）的${\displaystyle \frac{1}{(x-a{)}^n}}$$\displaystyle\frac{1}{(x-a)^n}$，所以也可以直接求被积函数的同阶无穷小，看无穷小收不收敛。

旋转体

表面积

应该是${\displaystyle \int 2\pi y\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx}$$\displaystyle\int2\pi y\sqrt{1+y'^2}dx$不是${\displaystyle \int 2\pi ydx}$$\displaystyle\int2\pi ydx$；注意不要用错了。

$2\pi y\sqrt{1+y^{\prime 2}}$$2\pi y\sqrt{1+y'^2}$：类圆柱侧面积；$dx$$dx$：高；

体积

体积微元：$2\pi r\cdot dS$$2\pi r\cdot dS$；即周长乘面积，微元旋转体近似微元柱体；

取积分：

物理量

质心

形心

转动惯量

$r$$r$为旋转的质量微元（质量为$m$$m$）离转轴的距离，物体（质量为$M$$M$）的转动惯量就是$J$$J$

曲率和曲率半径

[区间再现]公式

下限+上限-$x$$x$；即对函数平移反折，使其与原函数图像半积分限对称；

在被积函数有关于中点对称时可用。

[表格法]部分积分

部分积分的一种规律，如对${\displaystyle \int P(x)Q(x)dx}$$\displaystyle\int P(x)Q(x)dx$；上求导，下积分，正对角相乘，交错相加：

积分结果如下：

[点火公式]华莱士公式及相关

[$\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$函数]负指数积分

$\mathrm{\Gamma }$$\Gamma$函数性质如下：

注意一个形似的反常积分（没有$x$$x$次幂但指数有平方）：${\displaystyle {\int }_{-\mathrm{\infty }}^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=2{\int }_0^{\mathrm{\infty }}{e}^{-x^2}dx=\sqrt{\pi }}$$\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}dx = \sqrt \pi$，可以由$\mathrm{\Gamma }({\displaystyle \frac{1}{2})}$$\Gamma(\displaystyle\frac{1}{2})$加换元得到。

因式分解

N重根

有n重实根就将重根和单根分离，重根的部分将重根依次降阶写成n个分式：

复重根同理。其中，$K$$K$的计算按以下规则（假设n重根）：

次数越低的分式的系数求导ci'shu越多

高数下

常见图线

可导、可积、可微及有原函数

连续：一点左极限等于右极限等于该点函数值。

可导：左导数等于右导数存在且相等。

可微：该点可导且$dy=f^{\prime }(x)dx$$dy = f'(x) dx$.

以上三者关系：可导必连续，连续不一定可导。可导必可微，可微必可导。

原函数存在：（对应不定积分）

• 函数连续必有原函数

• 函数含第一类间断点必没有原函数

• 定义域内含无穷间断点必没有原函数

其他情况需要判定

可积：（对应定积分）

• 函数连续则可积

• 有界且有有限个间断点可积

1. 没规定第一类还是第二类

2. 可积则变上限积分存在

3. $f(x)$$f(x)$的变上限积分在$f(x)$$f(x)$的一类间断点处不可导

总结：

1. 先积出来，如果结果可导，则有原函数；

2. 可积不等于原函数在，两者有交集但互不包含，如可积不允许无界，原函数存在不允许一类间断。

3. $F(x)={\displaystyle {\int }_a^{x}f(x)dx+F(a)}$$F(x)= \displaystyle\int_a^x f(x)dx+F(a)$；

二元函数的连续，可(偏)导和可微

连续：从任意方向逼近的极限值等于该点函数值。

• 判别法：

  1. 举反例，存在两个方向趋近的值不一致；

  2. 夹逼，将函数的范围求出，$(x,y)\to (x_0,y_0)$$(x,y)\to (x_0,y_0)$直接得到范围的极限，从而确定函数的极限。

可(偏)导：$y_x^{\prime },y_y^{\prime }$$y_x', y_y'$都存在。

• 判别法：

  1. 一般由定义用极限计算。

     $$\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0)-f(x_0,y_0)}{\mathrm{\Delta }x}$$

可微：该点连续且可(偏)导且$dz=f_x^{\prime }dx+f_y^{\prime }dy$$dz = f_x' dx+f_y'dy$.

• 判别法：

  1. $$\underset{\genfrac{}{}{0ex}{}{\mathrm{\Delta }x\to 0}{\mathrm{\Delta }y\to 0}}{lim}\frac{f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)-[f_x^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }x+f_y^{\prime }(x_0,y_0)\mathrm{\Delta }y]}{\rho =\sqrt{{\mathrm{\Delta }}^{2}x+{\mathrm{\Delta }}^{2}y}}\stackrel{?}{=}0$$

  2. 即$f(x_0+\mathrm{\Delta }x,y_0+\mathrm{\Delta }y)-f(x_0,y_0)=[f_x^{\prime }\mathrm{\Delta }x+f_y^{\prime }\mathrm{\Delta }y]+o(\rho )$$f(x_0+\Delta x, y_0+\Delta y)-f(x_0, y_0)=[f_x'\Delta x+f_y'\Delta y] +\omicron(\rho)$成立。

以上三者关系：

可导不一定连续，连续不一定可导。连续不一定可微，可导不一定可微。可微必连续可导。偏导连续必可微。

可导，可微的几何意义

连续：可以不光滑，但是要连续；可导：光滑($xy$$xy$方向光滑)；可微：超级光滑(所有方向光滑)。

[所谓光滑，就是有切线，切平面；即可微是曲面某点存在切平面]

在二元函数中，可导(偏导)表示x, y方向上可导，如下函数，$(0,0)$$(0,0)$处可导，但是不可微，可微需要所有方向都可导。

关于偏导数连续

偏导数连续必可微，但是什么是偏导数连续？是这样:

并不是，偏导数也是函数，需要从任何方向逼近都相等：

二元函数的点与线

极值点与驻点

极值点：该点及邻域都有定义，且邻域的点都小于或大于该点。

驻点：一阶(偏)导等于0的点

极值点不一定为驻点，驻点不一定为极值点

需要$AC-B^2,A?0$$AC-B^2,\ A\ ?\ 0$判别

求多元函数最值问题

条件极值

1. 拉格朗日乘数法

   函数梯度与约束条件梯度重合：

   求极值的函数（可能需要自己构造）和约束条件构成拉格朗日函数，对各个变量求偏导，得到所有可疑驻点然后比较：

   $$\begin{array}{c}L=f+\lambda g+\rho h\Rightarrow \{\begin{array}{l}{F}_x^{\prime }=0\\ F_y^{\prime }=0\\ ...\\ F_{\phi }^{\prime }=0\\ F_{\rho }^{\prime }=0\\ ...\end{array}\Rightarrow (x_0,y_0,z_0,...)\end{array}$$

   注意：

   • 一般$n$$n$个变量的隐函数如果可以显式化，可以降一维进行计算，但是约束条件也要结合显式化的函数消去一维，变成新的约束条件，函数可以是隐函数，但是约束条件一定是方程而不是函数

2. 化为一元函数最值问题

   直接将边界方程代入函数，消元，化为一元函数最值问题。

无条件极值

1. $f_x^{\prime }=0;f_y^{\prime }=0\Rightarrow \text{驻}\text{点}$$f_x' = 0;\ f_y' = 0 \Rightarrow驻点$

2. $AC-B^2{|}_{(x_0,y_0)}>0\Rightarrow$$AC-B^2\big|_{(x_0,y_0)}>0\Rightarrow$是极点

   [若等于0，判别该点周围的点函数值是否都大于/小于该点的值（极值的定义）]

3. $AorC>0\Rightarrow$$A\ or\ C>0 \Rightarrow$极大值点

隐函数显式化

由二元函数可确定隐函数：$F(x,y)=0$$F(x,y) = 0$

对$x,y$$x,y$分别求导可以得到：

于是得到了隐函数的导数。

空间向量相关

基本知识

三向量共面

梯度

梯度与方向导数

梯度是方向导数最大的方向，方向导数：

$(cos\theta ,cos\beta ,cos\gamma ...)$$(cos\theta, cos\beta, cos\gamma...)$是方向余弦组成的单位方向向量。

梯度与法向量的关系

如果想求二维曲线$f(x,y)=0$$f(x, y)=0$在点$A=(x_0,y_0)$$A = (x_0,y_0)$的法向量，可以先构造二元函数$z=f(x,y)$$z=f(x, y)$，然后求$z$$z$在点$A$$A$的梯度$\mathrm{\nabla }z(A)=(\frac{\partial u}{\partial x},\frac{\partial u}{\partial y}){|}_{(x_0,y_0)}$$\nabla z(A) = (\frac{\part u}{\part x},\frac{\part u}{\part y})\big|_{(x_0,y_0)}$，这个梯度向量就是曲线$f(x,y)=0$$f(x, y)=0$在点$A$$A$的一个法向量。（该结论可推广至任意维度）

空间曲线的切向量

即两个平面的法向量再叉乘；

散度与旋度

向量场$A(x,y,z)$$A(x,y,z)$，

散度是$\mathrm{\nabla }$$\nabla$算子点乘向量场，旋度是$\mathrm{\nabla }$$\nabla$算子叉乘向量场（$\mathrm{\nabla }$$\nabla$算子即偏微分算子）

二重积分与雅各比行列式

雅各比行列式常用于二重积分换元：

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线面积分及两大公式总结

重要思想：

二元函数即三维曲面，二元方程是二维曲线

重积分计算法

直接计算

暂不谈；

对称性

1. 区域关于面对称，看函数与轴关系

   

2. 区域与$(1,1,1)$$(1,1,1)$对称，函数轮换对称$f(x,y,z)=f(y,z,x)=f(z,x,y)$$f(x,y,z) = f(y,z,x) = f(z,x,y)$；

   

轮换对称性

轮换对称，即轮换坐标轴（xyz->zxy），曲线/曲面方程或是空间区域方程不变，则：

这样的话，可以这样：

曲线积分

[图示]

图片来源

• 曲线积分可以看作求各部分质量不一致的曲线的质量；

• 一类曲线积分有直接的关于各点质量的函数；

• 二类曲线积分的“质量函数”被分为了各坐标分量；

1. [第一类] 函数与弧的积分（方向与弧方向一致）

   $$\begin{array}{c}{\int }_{l}f(x,y)ds=-{\int }_{-l}f(x,y)ds\\ ds=\sqrt{1+y^{\prime 2}}dx=\sqrt{x^{\prime 2}(t)+y^{\prime 2}(t)}dt\end{array}$$

   即将曲线积分转为普通积分，方式是转为$dx$$dx$或者用参数方程表示转为$dt$$dt$；

   [注意] 其中$ds\to dx$$ds \to dx$的过程是对积分区域函数的操作；

2. [第二类] 函数与弧的积分（方向与弧方向不一致，需要分解）（有向弧）

   $${\int }_{l}P(x,y)dx+Q(x,y)dy={\int }_a^{b}P(x,y)dx+Q(x,y)\cdot y^{\prime }dx$$

3. [格林公式] 二维N-L公式，将曲线积分转为曲面积分

   $${\oint }_{\sum L_i}P(x,y)+Q(x,y)ds={\iint }_D(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y})d\sigma$$

   注意：

   格林公式使用条件：

   • 分段光滑曲线围成的封闭曲线；

   • $P，Q$$P，Q$在$D$$D$上连续可偏导，如果有不连续可导的奇点，需要挖去奇点(在挖去的区域用格林公式)，如果不知道是否在某处不可导，则不可用；

   • 区域在曲线方向左侧则该方向为曲线正向，$\sum L_i$$\sum L_i$为所有边界线。

    

   不同情况下的应用：

   • 曲线封闭无奇点$\Rightarrow$$\Rightarrow$格林公式；

   • 曲线封闭有奇点$\Rightarrow$$\Rightarrow$定义新路径挖掉奇点；

     • 求$P,Q$$P,Q$在$L$$L$上积分和在$L_0$$L_0$（挖孔）上积分的差，从而将$L$$L$的曲线积分转为$L_0$$L_0$的曲线积分，计算$L_0$$L_0$的曲线积分值便可间接最出最后值。[一般若被积函数分母为一曲线，直接将挖孔曲线设为该曲线，如$a{x}^2+b{y}^2={\epsilon }^2$$ax^2+by^2 =\varepsilon^2$，届时分母为常数${\epsilon }^2$$\varepsilon^2$直接提出，之后再次使用格林公式或是直接计算就方便许多]

     • 若有${\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}}$$\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，则直接等于新路径积分；

   • 曲线不封闭$\Rightarrow$$\Rightarrow$

     • 若${\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}\ne \frac{\partial P}{\partial y}}$$\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}\ne\frac{\partial P}{\partial y}$，加线，然后加上该线的反方向，加正加负抵消；

     • 若${\displaystyle \frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}}$$\displaystyle\frac{\partial Q}{\partial x}=\frac{\partial P}{\partial y}$，积分与路径无关，直接换路径；

曲面积分

1. [第一类] 函数与曲面的积分（函数与曲面垂直计算函数方向相同的情况）[投影法]

   $${\int }_{\mathrm{\Sigma }}f(x,y,z)dS={\int }_{D_{xy}}f(x,y,\phi (x,y))\sqrt{1+{\phi }_x^{\prime 2}+{\phi }_y^{\prime 2}}dxdy$$

   • 使用条件：需要知道曲线的方程，并对其求偏导；

2. [第二类] 函数与曲面的积分（函数与曲面不垂直，映射到各坐标面计算（先转换为第一类，再投影求解））（有向曲面）

   $${\int }_{\mathrm{\Sigma }}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy$$

   计算如下：

   $${\iint }_{\mathrm{\Sigma }}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}[P\cdot cos\alpha +Q\cdot cos\beta +R\cdot cos\gamma ]dS$$

   其中，$cos$$cos$为曲面的各点法线向量余弦，可由$F=f(x,y)-z$$F = f(x,y)-z$的梯度算出cos（也可由$Z=f(x,y)$$Z = f(x,y)$法向量$(z_x^{\prime },z_y^{\prime },-1)$$(z'_x,z'_y,-1)$与各坐标平面法向量夹角计算cos）：

   

   $$cos\alpha =\frac{-z_x^{\prime }}{\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}},cos\beta =\frac{-z_y^{\prime }}{\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}},cos\gamma =\frac{1}{\sqrt{1+z_x^{\prime 2}+z_y^{\prime 2}}}$$

   技巧在于

   $$\begin{array}{rl}& {\iint }_{\mathrm{\Sigma }}[P\cdot \frac{cos\alpha }{cos\gamma }+Q\cdot \frac{cos\beta }{cos\gamma }+R]dxdy=\pm {\iint }_{D}f(x,y)dxdy\\ & cos\gamma \cdot dS=dxdy\end{array}$$

   注意：

   1. 方向余弦是正是负取决于向量与对应坐标轴的夹角；一般来说，用梯度计算得到法向量之后看$z$$z$轴的方向余弦正负，向下的法向量和$z$$z$轴的夹角余弦就是负的；

   2. 最后由$\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$面到$D$$D$面时需要根据选取的$\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$的面来确定是正还是负，因为二维平面$D$$D$只在上表面计算，如果$\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$被映射到了$D$$D$的反面，就需要加负号；

3. [高斯公式] 三维N-L公式，将曲面积分转为三重积分

   $$◯\int {\int }_{\sum {\mathrm{\Sigma }}_i}Pdydz+Qdxdz+Rdxdy={\iiint }_{\mathrm{\Omega }}(\frac{\partial P}{\partial x}+\frac{\partial Q}{\partial y}+\frac{\partial R}{\partial z})dv$$

   注意：

   • 高斯公式要求$P，Q,R$$P，Q,R$在$\mathrm{\Omega }$$\Omega$上连续可偏导，如果有奇点，需要挖去奇点，做法同上格林公式。如果不知道是否在某处不可导，则不可用，但如果可以确定在$\mathrm{\Sigma }$$\Sigma$上连续且连续偏导，可转用斯托克斯公式$\downarrow$$\downarrow$。

   • 曲面外侧为正向，内侧为负。$\sum {\mathrm{\Sigma }}_i$$\sum\Sigma_i$为所有曲面的和，缺面可以加一面，再加上这面的反面；

4. [斯托克斯公式] 解二类曲线/面积分

   $$\begin{array}{c}{\oint }_{L}Pdx+Qdy+Rdz={\iint }_{\mathrm{\Sigma }}\left|\begin{array}{ccc}dydz& dzdx& dxdy\\ \frac{\partial }{\partial x}& \frac{\partial }{\partial y}& \frac{\partial }{\partial z}\\ P& Q& R\end{array}\right|\end{array}$$

   公式特点：

   $$\left|\begin{array}{ccc}\text{缺}x& \text{缺}y& \text{缺}z\\ \text{偏}x& \text{偏}y& \text{偏}z\\ P\text{不}\text{偏}x& Q\text{不}\text{偏}y& R\text{不}\text{偏}z\end{array}\right|$$

   注意：

   如果不知道是否连续可偏导，可用第二形式转为一类曲面积分计算，也即二类曲面积分计算法。

总结

PS：曲线积分和曲面积分的斯托克斯公式联系是在3维进行联系的，格林公式是斯托克斯公式的二维形式；曲面积分到二重积分就是投影法；

[25 revise]：

曲线积分需要注意一个平面和空间的区别：使用斯托克斯的是二类空间曲线积分，使用格林的是二类平面曲线积分。这两种都可以使用投影法（转换积分元）投影到一维（如果方便的话）。

级数

常数项级数

几何级数

就是等比数列构成的级数：$\sum _{n}a{q}^n$$\sum_n aq^n$，特点是$q\ge 1$$q\geq 1$发散；

p级数

特点是$p\ge 1$$p \geq 1$发散

更一般的

1. 常数项级数：

   • 计算$a_n{|}_{n\to \mathrm{\infty }}$$a_n \big|_{n \to \infty}$，若不为0必发散，否则下一步$\downarrow$$\downarrow$

   • 计算$S_n{|}_{n\to \mathrm{\infty }}$$S_n \big|_{n\to \infty}$，存在则收敛，否则发散

2. 正项级数（全为正的常数项级数）

   特点：$S_n$$S_n$单调增

   • $S_n$$S_n$有上界收敛（收敛于上界），否则发散

   • 比较法（夹逼法）：可以p级数比较

   • 极限法：第无穷项比值为常数的正项级数敛散性同

   • 比值法：

     $$\begin{array}{c}\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\rho \\ \begin{array}{l}if\rho >1\to \text{发}\text{散}\\ elif\rho <1\to \text{收}\text{敛}\\ elsenotsure\end{array}\end{array}$$

   • 开方法：

     $$if\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}\sqrt[n]{a_n}<1\to \text{收}\text{敛},else\to \text{发}\text{散}$$

3. 交错级数（一正一负交替）

   • [莱布尼兹判别法] $|a_n|$$|a_n|$单调减且$a_n{|}_{n\to \mathrm{\infty }}=0$$a_n\big|_{n\to \infty}=0$则级数收敛

   PS：取绝对值增加发散性

PS

为什么判敛散性都含$\underset{n\to \mathrm{\infty }}{lim}$$\lim_{n\to \infty}$？

这里主要是回答比值法和开方法的理解问题，为什么由第n项就可判定敛散性？

首先需要注意，正项级数数列没有0和$\mathrm{\infty }$$\infty$，且有限项数列必收敛，而当$n\to \mathrm{\infty }$$n \to \infty$时，$a_n,a_{n+1}$$a_n,a_{n+1}$必趋于0，否则就不收敛；

于是将数列分为逐渐趋于0的后半部分和还不趋于0的前半部分，前半部分收敛于N项和（如果是N项的话），后半部分有无穷项，需要使用审敛法，比值法中和等比数列（几何级数）进行比较，即将后半部分趋于0的速度$\rho$$\rho$与等比数列的公比$q$$q$进行比较；

根值法同理：

幂级数

幂级数：

其中，将$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$看作一个常数项级数，$x^n$$x^n$看一个收敛因子能够使$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n$收敛的所有$x$$x$值组成收敛域；（类似Laplace变换）

$x^n$$x^n$为公比为$x$$x$的等比数列，故比值法和根值法计算$a_n$$a_n$的“公比”$\rho$$\rho$，$x\rho$$x\rho$为$\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{x}^n$$\sum_{n=0}^{\infty} a_n x^n$的“公比”，故可推导：

于是得到收敛半径。可见推出级数的“公比”是得到收敛半径的根本，上述公式不是所有时候都使用。

注意：

1. $R=\frac{1}{\rho }$$R = \frac{1}{\rho}$的公式来源于：如果标准的，不缺项的幂级数，$lim$$\lim$算出来应该是$|ax|$$|ax|$的形式，即$|ax|<1$$|ax|<1$，所以有$\frac{1}{\rho }$$\frac{1}{\rho}$的形式，显然，$\rho (x)<1$$\rho(x)<1$使用范围要更广，可以适用于函数项级数。

2. $|x|=R$$|x| = R$的时收不收敛需要讨论！！！

性质：和函数逐项可积，逐项可导

幂级数展开

令$a_n=\frac{f^{(n)}(0)}{n!}$$a_n = \frac{f^{(n)}(0)}{n!}$，则得到麦克劳林级数，$x-x_0$$x-x_0$则得到泰勒级数；

常用幂级数展开记忆

特征：

1. 三角系分母为阶乘，反比函数系分母为1，对数系分母为$n$$n$；

2. ${\displaystyle \frac{1}{1+x}=\frac{1}{1-(-x)}；-ln(1-x)=-ln[1+(-x)]}$$\displaystyle \frac{1}{1+x} = \frac{1}{1-(-x)}；-ln (1-x) = -ln [1+(-x)]$；注意换元后ln定义域反相；

3. 对数系为反比函数系的积分；$arctanx$$arctanx$为$\frac{1}{1+x^2}$$\frac{1}{1+x^2}$积分，总之无阶乘配反比函数系性价比高；

Abel定理与幂级数绝对收敛问题

Q：幂级数在收敛半径上收不收敛？绝对收敛？

定理部分证明：

若$\left|\frac{x}{x_0}\right|=1$$\left|\frac{x}{x_0}\right|=1$，即$|x|=R$$|x| = R$，等比级数不收敛，由夹逼准则得$|a_n{x}^n|$$|a_nx^n|$不收敛；$|a_n{x}^n|$$|a_nx^n|$不收敛$\iff a_n{x}^n$$\Leftrightarrow a_nx^n$不绝对收敛；即

对[2020数一Q4]：

幂级数和函数

和函数的性质：

1. 逐项可导，逐项可积

   求和函数常用到这两个性质对和函数进行处理。

   如：

   

   PS：对于$x_0$$x_0$邻域内的和函数$f(x)$$f(x)$，$a_n=\frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$$a_n = \frac{f^{(n)}(x_0)}{n!}$；

2. 部分和极限存在，幂级数收敛（于和函数），反之亦然；数列极限存在是级数收敛的条件；

傅里叶级数

函数正交分解原理

将函数$f(t)$$f(t)$正交分解，如分解一个向量：

${\overrightarrow{e}}_i$$\vec e_i$为正交基之一，${\overrightarrow{a}}_i$$\vec a_i$为$\overrightarrow{A}$$\vec A$在该正交基投影，也即对应的系数，函数正交分解可以类比，点乘类比周期内积分（记忆方法）：

以上，得到傅里叶系数，系数与正交基相乘求和得到傅里叶级数：

需要注意的是，$\mathrm{\Omega }=\frac{2\pi }{T}$$\Omega = \frac{2\pi}{T}$，即基函数需要与$f(t)$$f(t)$周期匹配；

狄利克雷收敛定理

若周期函数$f(x)$$f(x)$：

1. 在一个周期内连续，或者有限个一类间断点；

2. 在一个周期内极值点有限

则傅里叶级数收敛：

1. 连续点收敛于$f(x)$$f(x)$，间断点收敛于$\frac{1}{2}[f(x^{-})+f(x^{+})]$$\frac{1}{2}[f(x^-)+f(x^+)]$；

级数技法赏析

思路如图，包括单不限于：

1. 首先确定大致方向，如对数系特征是$1/n$$1/n$，无阶乘；反比例系是没有分母，没有阶乘；三角系是有阶乘；

   并且“$-x$$-x$”类没有$(-1{)}^n$$(-1)^n$，“$+x$$+x$”类才有；和诸如此类规律。

2. 常用和函数缺/赘项，如$S(x)={\displaystyle \sum _{n=0}^n\frac{x^{n+2}}{n!}=x^2{e}^x}$$S(x) = \displaystyle\sum_{n=0}^n \frac{x^{n+2}}{n!} = x^2e^x$；

3. 微积分构成常用和函数的微分方程，如$S^{\prime }(x)+S(x)=e^x$$S'(x)+S(x) = e^x$；

其中主要处理技巧有：

[如果式子中没有抽象式，如$a_n,b_n,...$$a_n,b_n,...$]

1. 提取初项，提取完后累加从次项开始，再令$n=n+1$$n = n+1$，可重新变回原格式，效果是

   $$\sum _{i=1}{a}_n\to \sum _{i=0}{a}_{n+1}$$

   即求和符$n$$n$退一，式子中$n$$n$进一；

2. 逐项求导（逐项积分也很常用），效果是

   $$\sum x^n\to \sum n{x}^{n-1}$$

   通常积分和求导一起用，先求导再积分，或先积分再求导。

3. 提取常数（$x$$x$也可以）（$n$$n$不可以！！！）

   $$\sum a^n\to a\sum a^{n-1};\sum x^n\to x\sum x^{n-1}$$

4. 函数复合：${\displaystyle \sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{x}^{2n}}$$\displaystyle\sum_{n=0}^\infty x^{2n}$不止代表${\displaystyle \frac{1}{1-x}}$$\displaystyle\frac{1}{1-x}$的偶数项，也可以是${\displaystyle \frac{1}{1-x^2}}$$\displaystyle\frac{1}{1-x^2}$；同理，$x^n$$x^n$不一定只与反比例系，对数系有关，也可能与$t=\sqrt{x}$$t = \sqrt x$变换后的三角函数系有关。

   即注意幂级数中$x$$x$的代换，可能是换元，可能是代值（变为常数项级数）。

[如果式子中有抽象式，如$a_n,b_n,...$$a_n,b_n,...$]

1. 利用题设条件搭配上述技巧进行处理，构造方程等等；

注意点

1. 收敛加发散得到的级数发散，发散加发散也是发散，但是发散减发散不一定，且注意${\displaystyle \sum \frac{1}{n+a}}$$\displaystyle\sum \frac{1}{n+a}$也是发散！！！

2. 求导可能减小收敛域，积分可能增加收敛域，改变仅限边界点上。

线代

空间中从来就不存在什么网格

——题记

计算

一些知识点

1. 基础解系的向量个数为$\text{列}-r$$列-r$

2. 代数余子式$A_{ij}$$A_{ij}$直接计算行列式，余子式$M_{ij}$$M_{ij}$才考虑$\pm 1$$\pm1$；

3.  

特征值

一些要点

1. 派生矩阵的特征值及特征向量：

   

2. 惯性指数：

   • 正惯性指数：正的特征值个数

   • 负惯性指数：同上。

特征值与相似对角化的关系

首先，需要知道的是，所谓相似对角化，就是对于一个线性变换，也许在这个线性变换中存在几个方向，在这几个方向的向量只是进行了伸缩变换（伸缩的系数就是$\lambda$$\lambda$，即特征值）而没有进行方向的变换，即

这就是特征向量，可以想见，特征向量之间肯定是线性无关的，否则它们不就是同一个向量？所以对于一个n维的空间，不可能有超过n个这样的向量，即$N_{\lambda }\le n$$N_\lambda \leq n$.

这有什么用呢？这里我们需要想到，如果一个沿着基向量方向的线性变换，表达起来是不是很简单：

所以如果能用一个线性变换的特征向量作为基向量（变换坐标系）重新表示这个线性变换，那么它将被表示为对角矩阵！！！

那么问题就来了：

1. [问题1] 这个线性变换存不存在足够多的特征向量用来作为基向量？

2. [问题2] 在以新的基向量构成的向量空间中怎么表示这个线性变换？

如果问题1被解决，则可以进行相似对角化；

利用$Ax=\lambda x$$Ax = \lambda x$，可以计算出$A$$A$的特征向量，不过在计算上，先计算出$\lambda$$\lambda$更方便，再拿$\lambda$$\lambda$计算特征向量。由于不同的特征向量可能对应一样的特征值，所以可能有:

1. $N_{\lambda }=n$$N_\lambda =n$，必有n个特征向量

2. $N_{\lambda }<n$$N_\lambda <n$，看重复的$\lambda$$\lambda$解出的基础解系中有几个线性无关的向量

总之就是要凑够$n$$n$个特征向量才满足相似对角化的条件。到这里回答了问题1，问题2在相似中解决。

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相似

首先摆出结论：相似的两矩阵，不过是同一个线性变换在两个坐标系中不同的矩阵表示！

相关推理如图：

$\because$$\because$ 其中，矩阵$P$$P$即由坐标系$xOy$$xOy$变换至目标坐标系的线性变换（矩阵）。

$\therefore$$\therefore$ 如果已知一个变换$A$$A$，$A$$A$的特征向量是$({\alpha }_1,{\alpha }_2...{\alpha }_n)=P$$(\alpha_1,\alpha_2...\alpha_n) = P$，显然，由当前坐标矩阵（$E$$E$矩阵）变换至特征向量矩阵（$P$$P$矩阵）的矩阵就是$P$$P$.

$\therefore$$\therefore$ 相似矩阵中会直接以求出来的特征向量组直接作为公式中的$P$$P$矩阵

经$P^{-1}AP$$P^{-1}AP$转换后得到$A$$A$矩阵在新坐标系（$A$$A$的特征向量为基向量的坐标系）中的表示，这样就得到了前面提到的简单的表示方法。

[补充] 向量的投射

本空间向量在变换空间的表示

对角化过程

对角化过程首先需要求得特征值和特征向量，如果满足相似对角化的条件，随后就是直接写出整个流程：$P^{-1}AP=\mathrm{\Lambda }$$P^{-1}AP = \Lambda$；$\mathrm{\Lambda }$$\Lambda$是特征值对角矩阵，$P$$P$是特征向量矩阵，$A$$A$是原矩阵。

唯一有一点不好的是，$P$$P$的逆矩阵$P^{-1}$$P^{-1}$有点难求；

但是如果$P$$P$正好是正交矩阵（即满足$A^{T}A=E$$A^TA = E$的矩阵，列向量为两两正交的单位向量的矩阵），那求逆就可以直接转置了！$P^{T}AP=\mathrm{\Lambda }$$P^TAP =\Lambda$ （实际上，这是合同的条件）

但这对$A$$A$的特征向量要求很高，即它们两两正交；那用施密特正交化强行将$P$$P$化转为正交阵如何呢？

对一个矩阵：

同一个特征值对应的特征向量正交化后得到的向量仍然是特征向量；

但不同特征值对应的特征向量正交化后得到的向量就不一定了

强行转化的结果得到的矩阵可能不是对角阵或特征值对角阵；$P^{-1}AP=B\ne \mathrm{\Lambda }$$P^{-1}AP = B\neq \Lambda$，主要矛盾在于除非矩阵的特征向量都对应同一个特征值，否则正交之后就会出问题。

但是有这样一种矩阵，它不同特征值对应特征向量天然正交；（同时它必可相似对角化），它就是实对称矩阵；

这意味着它的特征向量矩阵正交化之后还是特征向量矩阵，这说明施密特正交化与实对称矩阵才是绝配！

问题解决！！！

总结

1. 对角化条件很宽松，只需要有足够的特征向量就可以，代价是求$P^{-1}$$P^{-1}$麻烦；

   正交对角化条件严格，要求矩阵实对称，但是好处是$P^{-1}=P^T$$P^{-1} = P^T$；

2. 矩阵相似和合同本来是没啥关系的，相似不一定合同，合同不一定相似

   但如果是实对称矩阵，则相似必合同；

   等价（只有秩相同）$\to$$\to$ 合同（秩和正负惯性指数相同）$\to$$\to$ 相似（秩，正负惯性指数，特征值均相同）；

   矩阵亲密关系的一步步深化。

施密特正交化

矩阵正交

注：选不同的特征向量作为${\beta }_1$$\beta_1$可能导致不同的正交阵；

相似性质